辫群表示到奇异辫子半群的扩展

给定辫群 $B_n$ ($n \geq 2$) 到群 $G_n$ 的表示 $\varphi \colon B_n \to G_n$，我们考虑是否可以将此表示扩展为奇异辫子半群 $SM_n$ 到结合代数 $A_n$ 的表示 $\Phi \colon SM_n \to A_n$，其中 $A_n$ 的单位群包含 $G_n$。我们还研究了将表示 $\Phi \colon SM_n \to A_n$ 进一步扩展为奇异辫子群 $SB_n$ 到 $A_n$ 的表示 $\widetilde{\Phi} \colon SB_n \to A_n$ 的可能性。另一方面，给定群 $H$ 到域 $\Bbbk$ 上的一般线性群的两个线性表示 $\varphi_1, \varphi_2 \colon H \to GL_m(\Bbbk)$，我们定义了其中一个表示相对于另一个表示的缺陷 (defect)。此外，我们构造了 $SB_n$ 的一个线性表示，它是 Lawrence-Krammer-Bigelow 表示 (LKBR) 的扩展，并计算了该扩展相对于 Burau 表示的两个扩展的外积的缺陷。最后，我们讨论了如何从 Lawrence-Krammer-Bigelow 表示导出经典链环的不变量。