离散 Kolmogorov 系统修正承载单形的存在性与唯一性

对于从 $C =[0, +\infty)^N$ 到 $C$ 的形如 $T_i(x) = x_if_i(x)$ 的 $C^1$ 映射 $T$，若 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\leq 0$ $(i\not= j)$，则动力系统 $x(n) =T^n(x)$ 作为种群模型是竞争的。Hirsch（J. Bio. Dyn. 2 (2008) 169--179）提出、Ruiz-Herrera（J. Differ. Equ. Appl. 19 (2013) 96--113）证明（其他人亦有不同版本）的一个著名竞争系统定理指出：在某些条件下，系统具有一个紧不变曲面 $\Sigma\subset C$，它与 $\Delta^{N-1} =\{x\in C: x_1+ \cdots + x_N=1\}$ 同胚，吸引 $C\setminus\{0\}$ 中所有点，称为承载单形。该定理已被广泛接受并大量引用。本文指出其要求 Jacobian 矩阵 $Df = (\frac{\partial f_i}{\partial x_j})$ 的全部 $N^2$ 个元为负的条件不必要地强且过于限制。我们将该条件减弱为要求 $Df$ 的每个元非正且每个 $f_i$ 关于 $x_i$ 严格递减，从而证明了修正承载单形的存在性与唯一性。作为主结果应用的一个例子，给出了物种消失与一物种优于其他物种的充分条件。