关于整数的 dp-最小扩张 II

我们首先证明，如果 $\mathcal{Z}$ 是 $\left(\mathbb{Z},+,0,1\right)$ 的一个 dp-最小扩张，且不与 $\left(\mathbb{Z},+,0,1,<\right)$ 互可定义，那么在 $\mathcal{Z}$ 中可定义的 $\mathbb{Z}$ 的每个无限子集在 $\mathbb{Z}$ 中都是泛集。利用这一点，我们证明如果 $\mathcal{Z}$ 是 $\left(\mathbb{Z},+,0,1\right)$ 的一个 dp-最小扩张，其怪物模型为 $G$ 且满足 $G^{00}\neq G^{0}$，那么对于某个 $\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$，由 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{R}\big/\mathbb{Z}$ 中的嵌入 $n\mapsto n\alpha+\mathbb{Z}$ 所诱导的 $\mathbb{Z}$ 上的循环序在 $\mathcal{Z}$ 中是可定义的。该证明应用了关于阿贝尔群的 Gleason-Yamabe 定理。