关于乘性函数之差与方程 $n-\varphi(n) = c$ 的解

我们将研究方程 $f(n) - g(n) = c$ 的解，其中 $f$ 与 $g$ 为乘性函数，$c$ 为常数。更确切地，我们证明当 $f, g$ 与解 $n$ 满足某些约束（如对于 $n > 1$ 有 $f(n) > g(n)$）时，解的个数不超过 $c^{1-\epsilon}$。特别地，我们将证明如下估计：方程 $n - \varphi(n) = c$ 的解的个数为：$$G(c + 1) + O(c^{0.75 + o(1)}),$$ 其中 $G(k)$ 是将 $k$ 表示为两素数之和的方式数。该结果基于点与线构形的若干性质。