关于标准里德-所罗门码的深洞

确定深洞是里德-所罗门码译码中的一个重要开放问题。众所周知，如果接收词的拉格朗日插值多项式的次数等于里德-所罗门码的维数，则该接收词平凡地是一个深洞。对于标准里德-所罗门码 $[p-1, k]_p$（其中 $p$ 为素数），Cheng 和 Murray 在2007年猜想除平凡深洞外不存在其他深洞。本文表明该猜想不成立。事实上，我们为标准里德-所罗门码 $[q-1, k]_q$（其中 $q$ 为 $p$ 的素幂）发现了一类新的深洞。设 $q \geq 4$ 且 $2 \leq k\leq q-2$。我们证明，如果接收词 $u$ 的拉格朗日插值多项式是次数为 $q-2$ 的单项式与次数至多为 $k-1$ 的多项式之和，则 $u$ 是一个深洞。因此，当 $k \leq q-3$ 时，至少存在 $2(q-1)q^k$ 个深洞。