基于 Dickson 多项式的 Reed-Solomon 码中的深洞

对于一个 $[n,k]$ Reed-Solomon 码 $\mathcal{C}$，可以证明任意接收字 $r$ 与 $\mathcal{C}$ 的距离至多为 $n-k$，记为 $d(r,\mathcal{C})\leq n-k$。满足等号的字 $r$ 称为深洞(deep hole)。Guruswami 和 Vardy (2005) 证明，对于特定一类码，判定一个字是否为深洞是 NP-hard 的。他们顺带提出，当 $\mathcal{C}$ 的求值集较大或具有结构时，该问题可能更容易。遵循这一思路，我们研究求值集为 Dickson 多项式的像的情形，其值呈现出特殊的均匀性。为找出非深洞的接收字族，我们将其归约为一个子集和问题（或等价地，Waring 问题的 Dickson 多项式变体），并通过应用基于求值集上索引的特征和估计的论证，求得解的条件。