Reed-Solomon 译码的 NP 困难性与 Prouhet-Tarry-Escott 问题

确定 Reed-Solomon 码的有界距离译码（Bounded Distance Decoding）的复杂性是编码理论中的一个基本开放问题，由 Guruswami 与 Vardy（IEEE Trans. Inf. Theory, 2005）明确提出。该问题的动因在于其 NP 困难区间与高效可解区间（即 Johnson 半径）之间当前存在巨大鸿沟。我们给出了相较于 Guruswami 与 Vardy 的最大似然译码半径渐近更小的译码半径的首个 NP 困难性结果。具体而言，对于长度 $N$、维数 $K=O(N)$ 的 Reed-Solomon 码，我们证明译码超过 $N-K- c\frac{\log N}{\log\log N}$ 个错误是 NP 困难的（其中 $c>0$ 为绝对常数）。此外，我们证明在拟多项式时间归约下，对于错误量 $> N-K- c\log{N}$（其中 $c>0$ 为绝对常数）该问题是 NP 困难的。这些结果源于经典子集和问题向高阶矩推广的 NP 困难性，该推广称为矩子集和问题（Moments Subset Sum），是一个已知的开放问题，且可能具有独立意义。我们进一步揭示了其与数论中已被深入研究的 Prouhet-Tarry-Escott 问题的强关联，该问题恰好捕捉了扩展我们技术的主要障碍。我们认为 Prouhet-Tarry-Escott 问题值得理论计算机科学界进一步研究。