关于广义射影 Reed-Solomon 码的深洞

确定深洞是 Reed-Solomon 码解码中的一个重要课题。设 $l\ge 1$ 为整数，$a_1,\ldots,a_l$ 为特征为奇素数 $p$ 的 $q$ 元有限域 ${\bf F}_q$ 中任意给定的 $l$ 个不同元素。令 $D={\bf F}_q\backslash\{a_1,\ldots,a_l\}$，$k$ 为满足 $2\le k\le q-l-1$ 的整数。本文研究了 ${\bf F}_q$ 上长度为 $q-l+1$、维数为 $k$ 的广义射影 Reed-Solomon 码 ${\rm GPRS}_q(D, k)$ 的深洞。对于任意 $f(x)\in {\bf F}_q[x]$，若 $D=\{y_1, ..., y_{q-l}\}$，令 $f(D)=(f(y_1),\ldots,f(y_{q-l}))$，并令 $c_{k-1}(f(x))$ 为 $f(x)$ 中 $x^{k-1}$ 的系数。利用 D"ur 关于 ${\rm GPRS}_q(D, k)$ 的覆盖半径与最小距离关系的定理，我们证明：若 $u(x)\in {\bf F}_q[x]$ 且 $\deg (u(x))=k$，则接收码字 $(u(D), c_{k-1}(u(x)))$ 是 ${\rm GPRS}_q(D, k)$ 的深洞，当且仅当对于任意满足 $\#(I)=k$ 的子集 $I\subseteq D$，和 $\sum\limits_{y\in I}y$ 均不为零。我们还证明：若 $j$ 为满足 $1\leq j\leq l$ 的整数，且 $u_j(x):= \lambda_j(x-a_j)^{q-2}+\nu_j x^{k-1}+f_{\leq k-2}^{(j)}(x)$，其中 $\lambda_j\in {\bf F}_q^*$，$\nu_j\in {\bf F}_q$，$f_{\leq{k-2}}^{(j)}(x)\in{\bf F}_q[x]$ 为次数至多为 $k-2$ 的多项式，则 $(u_j(D), c_{k-1}(u_j(x)))$ 是 ${\rm GPRS}_q(D, k)$ 的深洞，当且仅当对于任意满足 $\#(I)=k$ 的子集 $I\subseteq D$，和 $\binom{q-2}{k-1}(-a_j)^{q-1-k}\prod\limits_{y\in I}(a_j-y)+e$ 均不为零，其中 $e$ 是群 ${\bf F}_q^*$ 的单位元。这意味着若 $p|k$，则 $(u_j(D), c_{k-1}(u_j(x)))$ 是 ${\rm GPRS}_q(D, k)$ 的深洞。