一类扭转 Reed-Solomon 码的深洞

深洞问题是编码理论中的一个基本问题，在代码构造和密码学中具有许多重要应用。 Reed-Solomon 码的深洞问题受到广泛关注。作为 Reed-Solomon 码的推广，本文研究了一类扭转 Reed-Solomon 码的深洞问题。首先，我们给出 $\boldsymbol{a}=(a_{0},a_{1},\cdots,a_{n-k-1})\in\mathbb{F}_{q}^{n-k}$ 为某些深洞的绪道 $TRS_{k}(\mathcal{A},l,\eta)$ 的必要充分条件。接下来，我们考虑确定扭转 Reed-Solomon 码 $TRS_{k}(\mathbb{F}_{q}^{*},k-1,\eta)$ 的所有深洞的问题。具体地，我们证明当 $q$ 为偶数且 $\frac{3q+2\sqrt{q}-8}{4}\leq k\leq q-5$ 时，$TRS_{k}(\mathbb{F}_{q}^{*},k-1,\eta)$ 不存在除已知深洞之外的其他深洞；当 $q$ 为奇数且 $\frac{3q+3\sqrt{q}-5}{4}\leq k\leq q-5$ 时，同样不存其他深洞。我们还完全确定了当 $q$ 为偶数且 $q-4\leq k\leq q-2$ 时的深洞。