关于维数$n\geq 3$中的临界偶极子

我们重新考虑了对应于(点)偶极势$V_{\gamma}(x) = \gamma (u, x) |x|^{-3}$($x \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$, $\gamma \in [0,\infty)$, $u \in \mathbb{R}^n$, $|u|=1$, $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 3$)的Hardy不等式的推广。更确切地说,对于$n \geq 3$,我们给出了临界偶极耦合常数$\gamma_{c,n} > 0$存在的另一种证明,使得\begin{align*} &\text{对所有 $\gamma \in [0,\gamma_{c,n}]$,以及所有 $u \in \mathbb{R}^n$, $|u|=1$,} \\ &\quad \int_{\mathbb{R}^n} d^n x \, |(\nabla f)(x)|^2 \geq \pm \gamma \int_{\mathbb{R}^n} d^n x \, (u, x) |x|^{-3} |f(x)|^2, \quad f \in D^1(\mathbb{R}^n). \end{align*}其中$D^1(\mathbb{R}^n)$表示$C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)$关于梯度所诱导范数的完备化。这里$\gamma_{c,n}$是最优的,即此类常数中最大的,并且我们讨论了一种计算它的数值格式。此外,我们讨论了$\gamma_{c,n} > 0$的上界与下界。我们也考虑了偶极中心位于无限离散集合上的多中心偶极相互作用的情形。