Levi 退化嵌入 $5$ 维 CR 流形上的收敛 Poincaré-Moser 约化

应用李理论，我们证明 $\mathfrak{C}_{2,1}$ 类中的任意 $\mathcal{C}^\omega$ 超曲面 $M^5 \subset \mathbb{C}^3$ 均携带 1 阶与 2 阶 Cartan-Moser 链。在任意点 $p \in M$ 处积分并拉直任意 2 阶链为以 $p$ 为中心的坐標 $(z, \zeta, w = u + i\, v)$ 中的 $v$-轴后，我们证明存在（唯一至 5 个参数）固定原点的收敛复坐标变换，其中 $\gamma$ 为 $v$-轴，使得 $M = \{u=F(z,\zeta,\overline{z},\overline{\zeta},v)\}$ 具有 Poincaré-Moser 约化方程：\begin{align} u & = z\overline{z} + \tfrac{1}{2}\,\overline{z}^2\zeta + \tfrac{1}{2}\,z^2\overline{\zeta} + z\overline{z}\zeta\overline{\zeta} + \tfrac{1}{2}\,\overline{z}^2\zeta\zeta\overline{\zeta} + \tfrac{1}{2}\,z^2\overline{\zeta}\zeta\overline{\zeta} + z\overline{z}\zeta\overline{\zeta}\zeta\overline{\zeta} \ & + 2{\rm Re} \{ z^3\overline{\zeta}^2 F_{3,0,0,2}(v) + \zeta\overline{\zeta} ( 3\,{z}^2\overline{z}\overline{\zeta} F_{3,0,0,2}(v) ) \} \ & + 2{\rm Re} \{ z^5\overline{\zeta} F_{5,0,0,1}(v) + z^4\overline{\zeta}^2 F_{4,0,0,2}(v) + z^3\overline{z}^2\overline{\zeta} F_{3,0,2,1}(v) + z^3\overline{z}\overline{\zeta}^2 F_{3,0,1,2}(v) + z^3{\overline{\zeta}}^3 F_{3,0,0,3}(v) \} \ & + z^3\overline{z}^3 {\rm O}_{z,\overline{z}}(1) + 2{\rm Re} ( \overline{z}^3\zeta {\rm O}_{z,\zeta,\overline{z}}(3) ) + \zeta\overline{\zeta}\, {\rm O}_{z,\zeta,\overline{z},\overline{\zeta}}(5). \end{align} Pocchiola 的两个主要不变量在原点的值为：$$W_0 = 4\overline{F_{3,0,0,2}(0)}, \quad\quad J_0 = 20\, F_{5,0,0,1}(0).$$ 证明详尽，非专家亦可理解。计算机生成的部分（即将发布）已减至最少。