与退化para-CR结构相关的偏微分方程组的等价性：基础方面

令 $K = R$ 或 $C$。我们研究解子流形 $\mathcal{M} = \{ y = Q(x,a,b)\} = \{b = P(a,x,y)\}$ 在坐标 $x \in K^{n\geqslant 1}$、$y \in K$、$a \in K^{m\geqslant 1}$、$b \in K$ 下，于分裂微分同胚 $(x,y,a,b) \,\longmapsto\, \big( f(x,y),\,g(x,y),\,\varphi(a,b),\,\psi(a,b) \big)$ 下的基本不变量。存在两个Levi形式，且具有相同的秩 $r \leqslant \min (n,m)$。若 $\mathcal{M}$ 关于参数是 $k$-非退化的且关于变量是 $l$-非退化的，则 $\mbox{Aut}(\mathcal{M})$ 是维数满足如下估计的局部李群：$$\dim\, \mbox{Aut} (\mathcal{M}) \,\,\leqslant\,\, {\textstyle{\binom{n+1+2k+2l}{2k+2l}}}\,\, \min\, \big\{ (n+1),\, (m+1) \big\}.$$ 我们的主要目标是为CR几何学者建立基础材料。我们聚焦于 $n = m = 2$，并假设 $r = 1$。在坐标 $(x,y,z, a,b,c)$ 下，局部方程为：$$z \,=\, c + xa + \beta\,xxb + \underline{\beta}\,yaa + c\,{\rm O}_{x,y,a,b}(2) + {\rm O}_{x,y,a,b,c}(4),$$ 其中 $\beta$ 和 $\underline{\beta}$ 表示在 $0$ 处的两个 $2$-非退化不变量。相关的para-CR偏微分方程组：$$z_y \,=\, \big(x,y,z,z_x,z_{xx}\big) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z_{xxx} \,=\, H\big(x,y,z,z_x,z_{xx}\big),$$ 由Levi退化满足 $F_{z_{xx}} \equiv 0$。我们详细证明，关于变量的 $2$-非退化假设等价于 $F_{z_x z_x} \neq 0$。这为在arXiv:2003.08166中独立遇到的最初两个para-CR相对微分不变量赋予了CR几何意义。