Cartan-Moser链的李理论构造

设 $M^3 \subset \mathbb{C}^2$ 为一个 $\mathcal{C}^\omega$ Levi非退化超曲面。在文献中，Cartan-Moser链是通过相当深入的考量被发现的：要么来自与CR等价问题相关的Cartan联络的构造；要么来自形式或收敛的Poincar\'e-Moser正规形的构造。本文笔记提供了一种替代性的直接初等构造，基于对 $5$ 个无穷小全纯自同构到CR横截曲线二阶射流空间的李延拓的考察。在 $4$ 维射流纤维内，这 $5$ 个延拓场的轨道恰好有一个简单的三次 $2$ 维退化例外轨道，即链轨迹：$$\Sigma_0 \,:=\, \big\{ (x_1,y_1,x_2,y_2) \in \mathbb{R}^4 \colon\,\, x_2 = -2x_1^2y_1-2y_1^3,\,\,\, y_2 = 2x_1y_1^2 + 2x_1^3 \big\}.$$ 通过平凡平移，我们可仅在一个点（原点）处工作来捕获所有点，且计算尽管在概念上具启发性，却变得令人失望地简单。