完备黎曼流形中的共轭点与测地环

黎曼几何中一个由 Klingenberg 提出的著名引理指出：若 $x_0$ 是距离函数 $d(p,\cdot)$ 在 $p$ 的割迹 $C_p$ 中的极小点，则要么存在一条从 $p$ 到 $x_0$ 的极小测地线，沿该测地线它们是共轭的，要么在 $p$ 处存在一条光滑地通过 $x_0$ 的测地环。本文证明：对于任意点 $q$ 以及 $F_q(\cdot)=d(p,\cdot)+d(q,\cdot)$ 在 $C_p$ 中的任意局部极小点 $x_0$，要么 $x_0$ 沿每条连接它们的极小测地线都与 $p$ 共轭，要么存在一条从 $p$ 到 $q$ 且通过 $x_0$ 的测地线。特别地，对于 $d(p,\cdot)$ 在 $C_p$ 中的任意局部极小点 $x_0$，要么 $p$ 和 $x_0$ 沿每条从 $p$ 到 $x_0$ 的极小测地线都共轭，要么在 $p$ 处存在一条光滑地通过 $x_0$ 的测地环。先前基于单射半径估计的结果将在更弱的条件下成立。