关于某些真正非线性偏微分方程的复代数奇点的研究

本文阐述了一类广义真正非线性偏微分方程( PDE)解中复代数奇点形成的新现象。我们从唯一的Cauchy初始条件开始,该初始条件在光滑轨迹附近为全纯分枝,且足够奇异。随后,我们预期存在一种解,其在由代数方程判别式消失定义的奇点轨迹S附近为全纯分枝。值得注意的是,Cauchy初始条件的单性为阿贝尔型,而其中一个解为非阿贝尔型。此外,奇点轨迹S依赖于Cauchy初始条件,这与仅适用于线性问题的Leray原理形成鲜明对比。这种现象是由于该偏微分方程为真正非线性且Cauchy初始条件足够奇异所致。首先,我们考察了经典的无粘性Burgers方程。随后,我们提出了一个描述预期现象的一般猜想。我们将该猜想视为一个工作计划,以便开发出有趣的新数学。我们还提出另一个猜想2,该猜想是一般猜想的一个特例,但保留了该主题的所有风格和难度。随后,我们提出了一种新算法,其中包含一个映射F,其固定点将给出与猜想2相关联问题的解。随后,我们进行了令人信服、详尽的数值测试,这些测试表明,应存在一种巴拿赫范数,使得映射F应为缩写,从而具有上述特定代数结构的解应是唯一的。这一工作是对Leichtnam(1993)的延续。