关于 Christoffel 字及其字典序阵列

我们将 Christoffel 矩阵定义为对应于长度为 $n$ 的 Christoffel 字的字典序阵列的 $n\times n$ 矩阵。在本文中我们证明，若 $R$ 为整环，则 $R$ 上两个 Christoffel 矩阵的乘积是交换的，且该乘积也是 $R$ 上的 Christoffel 矩阵。此外，若 $R$ 上的一个 Christoffel 矩阵可逆，则其逆矩阵也是 $R$ 上的 Christoffel 矩阵。由此，$R$ 上所有 $n\times n$ 可逆 Christoffel 矩阵的集合 $GC_n(R)$ 构成 $GL_n(R)$ 的一个阿贝尔子群。$GC_n(R)$ 中由对角线上为某元素 $a$ 而其余位置为 $b$（其中 $a,b \in R$ 且互不相同）的所有可逆 Christoffel 矩阵构成的子集，形成 $GC_n(R)$ 的一个子群 $H$。若 $R$ 为域，则商群 $GC_n(R)/H$ 同构于 $(\Z/nZ)^\times$，即模 $n$ 的整数乘法群。由此可得，对于每个有限域 $F$ 和每个有限阿贝尔群 $G$，存在 $n\geq 2$ 及一个忠实表示 $G\rightarrow GL_n(F)$，其完全由 $F$ 上的 $n\times n$（可逆）Christoffel 矩阵构成。我们还描述了 $GC_n(\Z/2\Z)$ 的结构。