Christoffel 词的 d 维推广

在本文中，我们将 Christoffel 词的定义推广到任意维度超立方格子的有向子图，我们称之为 Christoffel 图。当 $d=2$ 时，Christoffel 图对应于众所周知的 Christoffel 词。由于周期性，$d$ 维 Christoffel 图可以嵌入到 $(d-1)$-环面中（当 $d=3$ 时为平行四边形）。我们表明，Christoffel 图具有与 Christoffel 词相似的性质：其中心部分的对称性以及与反转词的共轭性。我们的主要结果将 Pirillo 定理（Christoffel 词的刻画，断言词 $amb$ 是 Christoffel 词当且仅当它与 $bma$ 共轭）推广到了任意维度。在这一推广中，映射 $amb\mapsto bma$ 被视为嵌入在 $\mathbb{Z}^d$ 中的图上的翻转操作，而共轭则是平移。我们表明，超立方格子的一个完全周期性子图是其翻转的平移，当且仅当它是一个 Christoffel 图。