关于共轭反演仿射变换的乘积

一个复矩阵若满足 $T\overline{T}=I$，则称为 \emph{共轭反演}（coninvolutory）。本文研究将 $\mathrm{Aff}(n,\mathbb{C})=\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})\ltimes \mathbb{C}^n$ 中的仿射变换分解为共轭反演的乘积。我们证明，仿射变换 $g$ 是 $\mathrm{Aff}(n,\mathbb{C})$ 中两个共轭反演的乘积当且仅当其线性部分 $L(g)$ 为 $c$-可逆；即，$L(g)$ 在 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 中与 $\overline{L(g)}^{-1}$ 共轭。等价地，$g$ 在 $\mathrm{Aff}(n,\mathbb{C})$ 中与 $\overline{g}^{-1}$ 共轭。我们进一步通过共轭相似性刻画由三个共轭反演构成的元素，并证明每个 $g=(A,v)\in \mathrm{Aff}(n,\mathbb{C})$ 均可表示为至多四个共轭反演的乘积。