论 Birman 的 Hardy-Rellich 型不等式序列

1961 年，Birman 证明了一组不等式序列 $\{I_{n}\}$（$n\in\mathbb{N}$），该序列对 $C_0^{n}((0,\infty))\subset L^{2}((0,\infty))$ 中的函数成立。特别地，$I_{1}$ 是经典的（积分）Hardy 不等式，$I_{2}$ 是著名的 Rellich 不等式。本文在定义于 $[0,\infty)$ 上函数的某个 Hilbert 空间 $H_{n}([0,\infty))$ 上给出了这组不等式序列的一个证明。此外，$f\in H_{n}([0,\infty))$ 蕴含 $f^{\prime}\in H_{n-1}([0,\infty))$；作为这一包含关系的推论，我们看到经典的 Hardy 不等式蕴含 Birman 序列中的每一个不等式。我们还证明，对于任意有限的 $b>0$，这些不等式在标准 Sobolev 空间 $H_0^{n}((0,b))$ 上成立。进一步地，在所有情形下，这些不等式中的 Birman 常数 $[(2n-1)!!]^{2}/2^{2n}$ 都是精确的，且使得任一不等式取等号的唯一函数是 $L^{2}((0,\infty))$（相应地，$L^2((0,b))$）中的平凡函数。我们还证明这些 Birman 常数与一个广义连续 Cesàro 平均算子的范数相关，并详细确定了该算子的谱性质。