关于鞅和傅里叶乘子的 Astala 定理

我们展示了一大类定义在 $\R^d$ ($d\geq 2$) 上的符号 $m$，其对应的傅里叶乘子 $T_m$ 满足以下不等式。若 $D$, $E$ 是 $\R^d$ 的可测子集，且 $E\subseteq D$ 以及 $|D|<\infty$，则 $$\int_{D\setminus E} |T_{m}\chi_E(x)|\mbox{d}x\leq \begin{cases} |E|+|E|\ln\left(\frac{|D|}{2|E|}\right), & \mbox{if}|E|<|D|/2, |D\setminus E|+\frac{1}{2}|D \setminus E|\ln \left(\frac{|E|}{|D\setminus E|}\right), & \mbox{if}|E|\geq |D|/2. \end{cases}.$$ 此处 $|\cdot|$ 表示 $\bR^d$ 上的勒贝格测度。当 $d=2$ 时，这些乘子包括 Beurling-Ahlfors 算子 $B$ 的实部和虚部，因此该不等式对 $B$ 也成立，且右侧需乘以 $\sqrt{2}$。该不等式对于 $B$ 的实部和虚部是尖锐的。本工作受 K. Astala 关于拟共形映射面积畸变的 Gehring-Reich 猜想的著名结果所启发。证明基于概率方法，并利用了一族适当的新型微分从属鞅的尖锐不等式。这些鞅界本身也具有独立的研究价值。