关于谱为康托集的一族不可数图

对每个 $p\geq 1$，星型自动机群 $\mathcal{G}_{S_p}$ 是一个可从 $p+1$ 个顶点上的星图定义的自动机群。我们研究群 $\mathcal{G}_{S_p}$ 在 $p+1$ 叉正则 rooted 树 $T_{p+1}$ 及其边界 $\partial T_{p+1}$ 上作用所关联的 Schreier 图。与在 $T_{p+1}$ 第 $n$ 层上的传递作用相关联的是有限 Schreier 图 $\Gamma^p_n$，而在边界上的作用存在不可数多条轨道，由作为序列 $\{\Gamma_n^p\}_{n\geq 1}$ 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下极限的无限 Schreier 图表示。我们得到图 $\{\Gamma_n^p\}_{n\geq 1}$ 谱的显式描述。然后，利用 $\mathcal{G}_{S_p}$ 的可顺从性，我们证明每个无限 Schreier 图的谱是零勒贝格测度康托集（即二次映射 $f_p(z) = z^2-2(p-1)z -2p$ 的 Julia 集）与支撑 KNS 谱测度的可数孤立点集的并。我们还给出无限 Schreier 图关于无根图同构的完全分类，表明它们可能有 $1$、$2$ 或 $2p$ 个端点，且 $1$ 个端点的情况关于 $\partial T_{p+1}$ 上一致测度是通有的。