论群的 Sylow 图与 Sylow 正规化子

设 $G$ 为有限群，$G_p$ 为 $G$ 的阶的所有素因子集合 $\pi(G)$ 中某一素数 $p$ 所对应的 Sylow $p$-子群。自同构群 $A_p(G)$ 定义为群 $N_G(G_p)/G_pC_G(G_p)$。我们定义群 $G$ 的 Sylow 图 $\Gamma_A(G)$，其顶点集为 $\pi(G)$，如下：两个顶点 $p,q\in\pi(G)$ 构成 $\Gamma_A(G)$ 的一条边，当且仅当 $q\in\pi(A_p(G))$ 或 $p\in \pi(A_q(G))$。得到以下结果：定理：设 $G$ 为有限几乎单群。则图 $\Gamma_A(G)$ 是连通的且直径至多为 5。我们还展示了如何应用该结果从群的 Sylow 子群的正规化子中推导出有关该群结构的信息。