关于半直线上非线性薛定谔方程的反散射变换

在本文中，我们针对一类边界条件，发展了半直线上可积聚焦非线性薛定谔（NLS）方程的反散射变换。该方法基于 Sklyanin 发展的可积边界条件和双行单色矩阵的概念，其刻画了区间上 NLS 的初边值问题。由 Sklyanin 的方法可知，基于涉及 NLS 时间部分 Lax 矩阵和反射矩阵的半离散型 Lax 对，可以导出可积边界条件的层次结构。反散射变换依赖于刻画区间问题的双行单色矩阵的散射系统的表述。半直线上 NLS 问题的散射系统通过将区间的一个端点延拓至无穷而获得。接着，我们推导了散射系统的谱与分析性质，并利用黎曼-希尔伯特表述建立了反演部分。我们还表明，我们的方法等价于一种非线性反射方法，即将半直线上的初边值问题延拓到整个轴上的初值问题。给出了半直线上孤子解的显式例子。尽管我们仅以 NLS 模型作为特例考虑，本文所提出的方法可轻易应用于半直线上广泛的可用积分偏微分方程。