关于 Elliott 的一个 Erdős–Kac 型猜想

Elliott 与 Halberstam 证明了 $\sum_{p<n} 2^{\omega(n-p)}$ 渐近于 $\phi(n)$。类比 Erdős–Kac 定理，Elliott 猜想若将对素数 $p$ 的求和限制为满足 $\omega(n-p)\le 2 \log \log n+\lambda(2\log \log n)^{1/2}$ 者，则该和将渐近于 $\phi(n)\int_{-\infty}^{\lambda} e^{-t^2/2}dt/\sqrt{2\pi}$。我们证明此猜想可由 Bombieri–Vinogradov 定理推出。我们进一步证明了一个涉及 Poisson–Dirichlet 分布的相关结果，运用了素数更深层次的分布结果。