关于正割 Dirichlet 级数与 Eisenstein 级数的 Eichler 积分

对于偶数 $s$，我们考虑正割 Dirichlet 级数 $\psi_s (\tau) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sec (\pi n \tau)}{n^s}$，该级数近期由 Lal\'{i}n, Rodrigue 和 Rogers 引入并研究。特别地，我们证明了，正如 Lal\'{i}n, Rodrigue 和 Rogers 所猜想并部分证明的，当 $r > 0$ 为有理数时，值 $\psi_{2 m} ( \sqrt{r})$ 是 $\pi^{2 m}$ 的有理数倍。随后，我们通过证明它们是 level $4$ 的奇权重 Eisenstein 级数的 Eichler 积分，将正割 Dirichlet 级数的性质置于具体背景中。这促使我们考虑一般 Eisenstein 级数的 Eichler 积分并确定其周期多项式。在 level $1$ 的情形下，Murty, Smyth 和 Wang 近期证明了这些多项式的大部分根位于单位圆上。我们提供了证据表明这一现象可推广至更高 level 的情形。这一观察补充了 Conrey, Farmer 和 Imamoglu 以及 El-Guindy 和 Raji 关于 level $1$ 情形下 Hecke 特征形式周期多项式零点的近期结果。最后，我们简要回顾了 Ramanujan 著作中类似类型的结果。