$ L(2,(\frac d\cdot))$ 的快速收敛无理级数

通过探索 Guillera-Rogers 理论，我们求值了一些通项为二次无理数的无穷级数，其结果用 $\pi$ 和 Dirichlet $L$-函数的特殊值 $L_d(2)\equiv L(2,(\frac d\cdot)):=\sum_{k=1}^\infty\left( \frac{d}{k} \right)\frac1{k^2}$ 表示。将 Kronecker 定理应用于格点和的线性组合，我们得到了 $L_{-56}(2)$、$L_{-68}(2)$、$L_{-87}(2)$、$L_{-111}(2)$ 和 $L_{-116}(2)$ 的几何收敛级数，这些结果超越了 Guillera-Rogers 的可解情形。