论 Roth 定理的一个 Ramsey--Turán 变体

Roth 定理的一个经典结果表明，齐次线性方程 $\mathcal{L}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 中的解自由集合的最大大小为 $o(p)$ 当且仅当 $\mathcal{L}$ 系数之和为 0。本文我们证明了 Roth 定理的一个 Ramsey--Turán 变体，关于 Erd\H{o}s 和 S\'ark"ozy 在 1970 年代引入的“结构化”集合的自然概念。具体而言，我们证明以下 statement 们等价：$(a)$ 每个 $\mathcal{L}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 中的解自由集合 $A$，若 $\alpha(\mathrm{Cay}_{\mathbb{F}_p}(A)) = o(p)$，则其大小为 $o(p)$。$(b)$ $\mathcal{L}$ 系数的一个非空子集的和为零。