关于 Eliahou 的一个问题与 Wilf 猜想

对于数值半群 $S$，Eliahou 关联了一个数 $E(S)$，并证明了关联数非负的数值半群满足 Wilf 猜想。因此，寻找 Wilf 猜想的反例就归结为具有负 Eliahou 关联数的半群。Eliahou 提到了 $5$ 个 Eliahou 数为 $-1$ 的数值半群。这些例子由 Fromentin 发现，他观察到在亏格不超过 $60$ 的超过 $10^{13}$ 个数值半群中，这些是唯一具有负 Eliahou 数的半群。我们在本文中通过显式给出此类半群的族，证明了对于任意整数 $n$，存在无穷多个数值半群 $S$ 使得 $E(S)=n$。我们证明了这些族中的所有半群都满足 Wilf 猜想，从而提供了该猜想成立的此前未知的例子。