修剪数值半群树以探测更高亏格下的威尔夫猜想

本文旨在为 reasonably 大亏格的数值半群验证所谓的威尔夫猜想。在 Fromentin 和 Hivert 通过计算验证的亏格不超过 60 的超过 3*10^{10} 个数值半群中，该猜想没有反例。计算使用解析半群树的思路，在每个节点进行测试。作为将半群树解析与已知理论结果相结合的一种手段，我们引入了割半群的概念。假设数值半群上存在某性质，使得满足该性质的半群必然满足威尔夫猜想。再假设此外该性质是遗传的，即若一半群满足它，则其在半群树中的所有后代也具有同一性质。这样的性质是存在的。有趣的性质可由 Eliahou 的一些深刻结果轻易推得。满足此类性质的半群称为（关于该性质的）割半群。在寻找威尔夫猜想反例时，若发现一个割半群，则可将其剪除，因为其后代中不存在反例。因此可考虑通过剪除所有割半群得到的修剪树。视性质而定，这些思路在某些情况下可避免解析树的很大部分，并可应用于其他相关问题。例如，它们可用于找到亏格大于 60（当前纪录）且具负 Eliahou 数的所有数值半群。Fromentin 的计算表明在此情形下恰有 5 个数值半群。