具有固定 Frobenius 数的数值半群中亏格的分布

数值半群是自然数的一个子半群，其补集有限。其补集的大小称为亏格，补集中最大的数称为其 Frobenius 数。我们考虑具有固定 Frobenius 数 $f$ 的数值半群集合并分析它们的亏格。我们找到了该数值半群集合中亏格的渐近分布，并证明其为一个高斯函数与一个幂级数的乘积。我们证明几乎所有 Frobenius 数为 $f$ 的数值半群的亏格都接近于 $\frac{3f}{4}$。我们将 Frobenius 数为 $f$ 的数值半群的个数记为 $N(f)$。虽然 $N(f)$ 不是单调的，但我们证明了对每个 $f$ 都有 $N(f)<N(f+2)$。