关于有限预算网络创建博弈

我们考虑一种网络创建博弈,其中每个参与者(顶点)拥有固定预算来与其他参与者建立链接。在我们的模型中,每条链接具有单位价格,每个智能体试图最小化其代价,该代价为所创建网络(无向)底层图中其局部直径或到其他参与者的总距离。我们研究了该博弈的两个版本:在 MAX 版本中,顶点所承担的代价为该顶点与其他顶点之间的最大距离;在 SUM 版本中,顶点所承担的代价为该顶点与其他顶点之间距离之和。我们证明在两个版本中纯纳什均衡均存在,但寻找顶点的最佳响应问题是 NP 困难的。我们将所创建网络的社会代价取为其直径,接下来在各种情形下研究具有 $n$ 个顶点的均衡图的最大可能直径。当所有参与者预算之和为 $n-1$ 时,均衡图始终为树,且我们证明在 MAX 与 SUM 版本中其最大直径分别为 $\Theta(n)$ 与 $\Theta(\log n)$。当每个顶点具有单位预算(即仅可与一个顶点建立链接)时,任一版本中任一均衡图的直径均为 $\Theta(1)$。我们给出了 MAX 版本中均衡图的例子,使得所有顶点均具有正预算,然而其直径为 $\Omega(\sqrt{\log n})$。这一有趣(或许违反直觉)的结果表明,增加预算可能增大均衡图的直径,从而恶化网络结构。随后我们证明 SUM 版本中每个均衡图的直径为 $2^{O(\sqrt{\log n})}$。最后,我们证明若每个参与者的预算至少为 $k$,则 SUM 版本中每个均衡图要么是 $k$-连通的,要么直径小于 4。