Karhunen-Loève 展开构造的数值考虑

本报告考察了构建二阶随机过程的Karhunen-Loève展开（KLE）的数值方面。KLE依赖于通过第二类Fredholm积分方程进行的协方值算子特征分解，然后在计算网格上进行离散化，导致特征分解任务。我们推导了该Fredholm基于特征值的解与权重缩放样本矩阵奇异值分解（SVD）之间的代数等价性，由此在基于模型和数据驱动的KLE构造中获得一致的解。指数协方值核和平方指数协方值核的解析特征解作为参考基准，用于评估一维设置中的数值一致性和准确性。作为样本数的函数，SVD基于特征值估计值以及KL系数经验分布收敛到其理论 $\mathcal{N}(0,1)$ 目标的特性在二维不规则域（由非结构化三角网格离散，包含两个细化水平）以及三维环面域（其非单连通拓扑激发了欧几里得距离与最短内部路径距离之间的比较）中进行了考察。数值结果突显了离散化策略、数值积分规则和样本数的相互作用，以及其对KLE结果的影响。