勒让德多项式及其在卡恩霍夫展开中的应用
计算工程、金融与科学
2025-07-15 v1 概率论
摘要
本文作了两项主要贡献。首先，我们present了对勒让德多项式三-term递推关系的教学性综述，无需依赖经典的勒让德微分方程、罗德里格斯公式或生成函数。这一阐述旨在为 undergraduate学生提供可及性。其次，我们发展了一个针对hyper-rectangular域上的各向同性高斯随机场的卡恩霍夫展开计算框架。该框架利用勒让德多项式及其相关的高斯求积，即使在更高的空间维度上也保持高效。首先通过牛顿优化拟合获得的理论初始化获得的非负平方指数混合近似来近似协方差核函数。 resulting的可分离核函数enable了以Kronecker乘积形式进行勒让德-加勒金离散化，子矩阵 exhibits even/odd parity structure。assembly过程中，我们引入Duffy型变换随后进行求积。这些结构性属性显著减少了与naive方法相比的内存使用和算术成本。所有算法和数值实验均提供在开源仓库中，可复现本工作中的每个图表和表格。
引用
@article{arxiv.2507.09825,
title = {Legendre Polynomials and Their Use for Karhunen-Lo\`eve Expansion},
author = {Michal Béreš},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.09825},
year = {2025}
}