矩形上 Legendre 多项式的牛顿势具有位移结构
数值分析
2025-06-04 v1 数值分析
摘要
Poisson 方程的特解可通过牛顿势构造，即涉及相应 Green 函数的积分，在二维情形下该函数具有对数奇异性。该奇异性对计算积分构成了重大挑战，通常通过专门设计的求积方法来克服，这些方法涉及对函数和核的大量求值。我们提出了一种有吸引力的替代方案：我们证明了作用于 Legendre 多项式（及其张量积）的牛顿势（及其梯度）可以用复积分表示，这些复积分满足简单且显式的递推关系，可用于精确计算奇异积分，即完全避免了奇异积分求积。递推的非齐次部分具有低秩结构（对于牛顿势，其秩至多为三），因此这些递推具有位移结构。直接使用该递推是在积分域上或其附近进行快速求值的方法，对于低次多项式逼近保持精确；而高精度算术使得该方法对于中次多项式也能精确使用。
关键词
引用
@article{arxiv.2506.03003,
title = {Newtonian potentials of Legendre polynomials on rectangles have displacement structure},
author = {Sheehan Olver},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.03003},
year = {2025}
}