基于多项式密度插值的体积势快速高阶数值计算

本文提出一种高阶精确的数值方法，用于计算奇异体积积分算子，重点关注二维中与Poisson方程和Helmholtz方程相关的算子。遵循边界积分算子密度插值方法的思路，所提方法利用Green第三恒等式以及密度函数的局部多项式插值，将体积势重新表述为单层势、双层势与具有正则化（有界或更光滑）被积函数的体积积分之和。层势可通过现有方法（如密度插值方法）在平面内任意位置精确高效求值，而正则化体积积分可通过初等求积法则精确计算。与直接对每个奇异及近奇异体积目标点计算修正项相比，该方法通过将全部奇异和近奇异修正推至区域边界小邻域内目标点处的近奇异层势求值，显著减少了所需的专用求积量。文中给出了正则化与求积近似的误差估计。该方法与成熟的快速算法兼容，不仅在在线阶段高效，其建立过程同样高效。数值算例展示了所提方法的高阶精度与效率；并给出了在非齐次散射中的应用。