任意阶数直方逼近方案的广义概率密度方法

本文探讨了从三角网格上加权边缘积分重建二元函数的问题，这是象征性重要的医学成像、计算机视觉和数值逼近中的问题。我们的做法基于通过单正式三元组定义的局部直方逼近方法，其中边权由概率密度引导。我们提出了适用于任意多项式阶数~$k$的通用策略，其中边矩针对所选密度相关的正交多项式进行计算。这构建了一个系统化的框架，用于任何阶数的加权重建，具备单正式性和完全显式基函数的理论保证。作为具体而灵活的实例，我们引入一个两参数的Jacobi型分布家族于[-1,1]，及其对称Gegenbauer子类，表明这些密度如何生成新的二次重建算子，这些算子概括了标准线性直方逼近方案，同时保持其简单性和局部性。我们采用自适应参数选择算法 for Jacobi密度，自动调节分布参数以最小化全局重建误差。该策略增强了在不同函数类和网格分辨率下的鲁棒性和适应性。通过大量数值实验，我们证明了所提出算子在逼近平滑和高度振荡函数方面的优越精度。最后，该框架足够通用，可容纳任何合规的边缘密度，从而提供一种灵活且广泛适用的加权函数重建工具。