Padua、Fekete 和 Leja 三角形上的二元多项式积分插值技术

本文探讨了使用满足三角形积分插值条件的二元多项式，对定义在域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上的实值函数 $f$ 进行重构。更确切地说，我们假设仅已知 $f$ 在 $\Omega$ 的给定三角剖分 $\mathcal{T}_N$ 上的平均值，并寻求一个二元多项式通过积分插值方法来逼近 $f$，且可能辅以额外的回归技术。该方法依赖于从 $\mathcal{T}_N$ 中选取一个子集三角形 $\mathcal{T}_M \subset \mathcal{T}_N$ 进行积分插值，以确保问题的可解性与良态性。其余三角形可能被用于通过同步回归来提高多项式逼近的精度。我们将介绍使用 Padua 点、离散 Leja 序列和近似 Fekete 节点的积分插值以及积分插值与回归相结合的方法。通过数值实验对所提出的算法进行了实现与评估，展示了其在函数逼近中的有效性。