通过多节点Shepard函数实现函数在带跳变处的$ C^{\infty}$有理逼近与准历史插值

历史插值（即分段插值）是一种数学技术，用于在给定区间$I=[a,b]$上通过利用对子区间的积分信息来逼近函数$f$。与基于点函数值的经典多项式插值不同，历史插值是使用积分数据来重构函数。然而，类似于经典多项式插值，历史插值在积分数据基于具有多个等距节点的网格时，会出现众所周知的Runge现象；当逼近不连续函数时，还会出现Gibbs现象。相比之下，准历史插值旨在放宽对穿过所有给定数据点的严格要求。这种固有的灵活性可以通过例如有理逼近算子来降低振荡行为的可能性。本文引入了一个用于有界（可积）函数的$C^{\infty}$有理准历史插值算子，通过克服Runge和Gibbs现象来重构函数。我们方法的关键要素是使用多节点Shepard函数作为混合函数，对少数节点上的局部历史插值多项式进行混合。若干数值实验表明，我们方法的准确性。