关于散乱标量与流形值函数的多尺度拟插值

我们探讨从任意散乱位置给定的离散样本中近似未知函数的问题。该问题在数值科学中至关重要，现代应用也凸显了对流形值函数情形求解的需求。本文引入并分析了一种结合基于核的拟插值与多尺度近似的方法，适用于标量值与流形值函数。虽然拟插值在数据定义于无限网格上时为近似问题提供了强大工具，但在散乱数据情形下情况更为复杂。此时，高阶拟插值方案要么需要导数信息，要么在数值上变得不稳定。因此，本文主要研究将拟插值与多尺度技术相结合所带来的改进。本文的主要贡献如下。首先，我们引入了针对标量值函数的多尺度拟插值技术。其次，我们展示了如何利用移动最小二乘算子将该技术推广到流形值设定。第三，我们给出了数学证明，表明收敛的拟插值也将导出收敛的多尺度拟插值。第四，我们提供了充分的数值证据，证明多尺度拟插值比拟插值具有更优的收敛性。此外，我们将提供示例表明，多尺度拟插值方法为许多数据分析任务（如去噪和异常检测）提供了强大工具。它对于海量数据点和高维情形尤为具有吸引力。