树基低秩格式张量逼近的高阶主成分分析
数值分析
2019-09-11 v2
摘要
本文研究利用树基张量格式（其图为由维数划分树构成的张量网络）对张量进行逼近。我们考虑定义在带有概率测度的积集上的多元函数的 Hilbert 张量空间。这包括对应于有限积集的多维数组情形。我们提出并分析了一种仅使用多元函数的点评估或多维数组某些条目的评估来构造逼近的算法。该算法是高阶奇异值分解的一种变体，它构建与树的不同节点相关联的子空间层次结构以及相应的插值算子层次结构。最优子空间通过函数部分随机评估的插值的经验主成分分析来估计。该算法能够以任意树基格式提供具有指定秩或指定相对误差的逼近，其评估次数量级等于逼近格式的存储复杂度。在对主成分估计的某些假设下，我们证明该算法提供具有给定秩的拟最优逼近，或满足指定相对误差的逼近（直至依赖于树和插值算子性质的常数）。分析考虑了无限维张量逼近的离散化误差。若干数值例子说明了主要结果以及该算法在使用分层 Tucker 或张量列张量格式逼近高维函数，以及使用张量化逼近一元函数时的行为。
引用
@article{arxiv.1705.00880,
title = {Higher-order principal component analysis for the approximation of tensors in tree-based low-rank formats},
author = {Anthony Nouy},
journal= {arXiv preprint arXiv:1705.00880},
year = {2019}
}