解析平面域上 Laplace 与 Helmholtz 问题边界附近层势的评估

边界积分方程是数值求解椭圆型边值问题的一种高效且精确的工具。其解表示为层势；然而，若使用固定的求积规则，其在边界附近的评估误差会显著增大。首先，我们针对具有解析密度的 Laplace 方程和全局周期梯形规则分析了该误差，并发现其与边界参数化的复化存在紧密联系。我们的主要结果随后提出了一种简单高效的方案，用于在单层层势和双层层势中针对 Laplace 和 Helmholtz 方程实现直至边界的精确评估，该方案利用放置在边界附近的中心点进行代理局部展开。该方案（也是近期 QBX Nystr"om 求积的基础）具有渐近指数收敛性（我们在解析 Laplace 情形下证明了这一点），无需自适应，可简单推广至三维，且当通过局部校正快速多极子求和执行时，其复杂度为 $O(N)$。我们给出了一个高频散射算例，针对周长为 700 个波长的障碍物，在单核 CPU 上的 MATLAB 环境中用时 30 秒，以 11 位精度在边界附近 $2\times 10^5$ 个点处评估了解。