二维双周期拉普拉斯和斯托克斯边值问题的统一积分方程方案

我们提出了一种具有谱精度的方案，用于将单个单胞几何上的椭圆型偏微分方程的边界积分公式转化为完全周期问题的公式。应用包括计算复合介质的有效渗透率（均匀化）和微流控芯片设计。我们的基本思想是利用一个最小二乘求解来施加周期性，而无需处理周期性格林函数。我们展示了针对二维双周期诺伊曼拉普拉斯问题（绝缘体周围的流动）和斯托克斯无滑移流体流动问题的快速求解器，对于具有光滑边界的夹杂物，这些求解器可以达到 12 位数字的精度，并且每个单胞可以处理数千个夹杂物。我们将镜像格点上的无穷求和分解为一个直接求和的“近”部分加上少量代表（平滑的）剩余“远”贡献的辅助源。在单胞壁上施加物理边界条件得到一个扩展的线性系统，经过秩 1 或秩 3 校正和舒尔补后，留下一个良态的方阵系统，该系统可以使用快速多极子加速加上一个低秩项进行迭代求解。我们对连续问题和离散化问题的一致性和零空间进行了相当明确的说明。该方案简单（不需要格点求和、埃瓦尔德方法或粒子网格），允许自适应性，并且本质上与维度和 PDE 无关，因此可以毫不费力地推广到三维和其他非振荡椭圆问题，如弹性静力学。我们采用了最近开发的谱求积方法，可以精确处理接近接触的几何结构。我们提供了许多数值示例，并提供了一个软件实现。