匹配外部与内部椭圆问题的谱方法

本文描述了一种用于求解内部域与外部域上耦合椭圆问题的谱方法。该方法在二维内部 Poisson 问题和外部 Laplace 问题上进行了公式化与测试，要求其解及其法向导数在界面处连续。在预处理步骤中，计算了对应于界面处所有可能 Dirichlet 边界值的内部区域和外部区域的齐次解的完备基。利用该基构建影响矩阵，从而将耦合边界条件转化为仅针对内部问题的条件。采用 Chebyshev 逼近来表示内部解和边界值。使用标准的 Chebyshev 谱方法计算内部解。外部调和解通过自由空间 Green 函数与面密度的卷积计算得出；该面密度本身是一个积分方程的解，当边界值以 Chebyshev 展开式给出时，该积分方程具有解析解。Chebyshev 逼近的性质保证了外部调和函数基能够一致地表示边界附近的外部解。通过计算矩形内电荷分布产生的静电势对该方法进行了测试。所得的影响矩阵良态，且随着分辨率的提高，解呈指数收敛。文中讨论了该方法向三维问题的推广，特别是有限圆柱域及其周围真空中的磁流体动力学方程。