求解含非紧源标量及矢量 Poisson 方程的多域谱方法

我们提出一种谱方法以求解广义相对论中出现的椭圆方程，即三维标量 Poisson 方程，以及 $\Delta \vec{N} + \lambda \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{N}) = \vec{S}$ 型（$\lambda \not= -1$）的广义矢量 Poisson 方程。源可延展于整个欧氏空间 ${\bf R}^3$，只要其至少以 $r^{-3}$ 衰减。采用多域途径及球坐标 $(r,\theta,\phi)$。每域中使用 Chebyshev 多项式（于 $r$ 或 $1/r$）与球谐函数（于 $\theta$ 和 $\phi$）展开。若源以 $r^{-k}$ 衰减，数值解误差被证至少以 $N^{-2(k-2)}$ 减小，其中 $N$ 为 Chebyshev 系数个数。若源不含指标 $l\geq k -3$（标量情形）或 $l\geq k-5$（矢量情形）之球谐函数，误差甚至消失性，即按 $\exp(-N)$ 减小。