一种求解有界域中平流 - 扩散方程和波动方程的时空谱方法

平流 - 扩散方程和波动方程是支配任何物理定律的基本方程，因此出现在物理学和天体物理学的许多领域。对于复杂的问题和几何形状，只有数值模拟才能洞悉所求解的定量和准确行为。求解偏微分方程的标准数值算法是将空间和时间离散化分别拆分为不同的不相关方法。时间通常通过显式格式推进，或者在时间步长限制过于严格时，通过隐式或半隐式算法推进。这种独立的时间和空间切片是人为的，有时并不实用。事实上，在某些问题（如扩散）中，强烈建议对称且同时地处理空间和时间方向而不进行拆分。本文的目的是提出一种简单的数值算法，利用完全谱方法在二维笛卡尔 $(x,t)$ 有界时空域中求解标准的线性标量平流 - 扩散方程和波动方程。文中展示了该方法在纯扩散问题向三维 $(x,y,t)$ 的推广。基本思想是将未知函数在空间变量 $(x,y)$ 以及时间变量 $t$ 上展开为切比雪夫多项式。我们展示了典型示例并证明了该方法的谱精度。完全谱方法的巨大优势在于，与标准的时间步进技术相比，它们在网格点数量相对较少的情况下（对于足够光滑的解）具有高精度。