求解积分偏微分方程的一种新摄动技巧

积分偏微分方程出现在数学物理的许多情境中。典型例子包括含有一个参数（例如温度）的时间依赖扩散方程，该参数依赖于未知分布函数的积分。求解所得非线性偏微分方程的 standard 方法涉及使用预测-校正算法，这常常需要多次迭代以达到可接受的收敛水平。在本文中我们提出一种替代步骤，它允许我们将一族积分偏微分方程分离为两个相关问题，即 (i) 温度的摄动方程，以及 (ii) 分布函数的线性偏微分方程。我们证明温度的变化可通过在求解分布函数之前求解摄动方程来确定。通过将发散的摄动展开重铸为连分式，获得了温度的收敛结果。一旦确定了温度变化，便可使用标准技巧通过求解剩余的线性偏微分方程得到分布函数的自洽解。该方法的合理性通过将（输入的）连分式温度剖面与由对所得分布函数积分计算出的（输出的）温度进行比较而得到证实。