用于椭圆问题的非协调 h-p 谱元法

本文表明，我们可以使用 \cite{duttora1,duttom,duttora2,tomarth} 中提出的 h-p 谱元法的改进版本，利用非协调谱元函数，在多边形区域上以指数精度求解具有通用边界条件的椭圆问题。在角点邻域使用几何网格。利用该网格，我们寻求一个解，使其最小化偏微分方程中残差的加权平方范数与边界条件中残差的平方范数之和（在分数阶 Sobolev 空间中），并通过在待最小化的泛函中添加一项来强制连续性，该项度量函数及其导数在单元间边界处的跳跃（采用分数阶 Sobolev 范数）。在角点邻域使用修正的极坐标，而在其他区域使用全局坐标系。基于 \cite{babguo1} 中的正则性估计，导出了待最小化泛函的稳定性估计。我们考察了该方法的并行化方案，并表明公共边界值集由多边形区域角点处的函数值组成。该方法比 \cite{duttora1,duttom,tomarth} 中提出的方法以及 h-p 有限元法更快，且获得了更强的误差估计。