连续介质中牛顿势的精确无奇点重构

引力势是许多天体物理问题中的关键函数。由于发散核 $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ 的存在，利用牛顿定律评估连续介质内部的引力势已知极具挑战性。这一困难通常通过回避技术（例如多极展开、软化长度）来处理，但这些方法本身并非没有缺点。在本文中，我们提出了一条新途径，基本上解决了至少具有两个维度的系统中的点质量奇点问题。该方法包括将引力势重构为等效的积分微分形式，即“超势”（即辅助标量函数）的交叉导数。与势不同，超势是质量密度与有限振幅核的卷积。我们表明，可以直接从均匀片层的势推导出该新核的闭式表达式。随后，我们给出了适用于笛卡尔、圆柱和球坐标系（包括轴对称情况）的一些公式。该方法本质上不受源几何形状或分布的限制，且易于实现。我们展示了基于简单求积/微分方案的几项测试（均匀矩形片层、长方体和圆盘、Maclaurin 圆盘以及截断的 Lane-Emden 解）。与直接求和相比，额外的计算成本很低，但收益显著：无需截断级数，无需自由参数，且在使用最基本的数值方案时，每个空间方向通常仅需 16 个节点即可达到优于 1% 的相对精度。