随机测度的Karhunen-Loève展开

我们给出了$\mathbb{R}^{d}$上实值、函数调控、二阶随机测度在测度协方差下的正交展开。此类展开可视为Karhunen-Loève分解，由一系列确定性实测度组成，其权重为不相关实随机变量，且方差构成收敛级数。该级数在均方意义下随机地、并在可测有界测试函数（若随机测度非有限则具紧支撑）的测度意义下收敛，这意味着集合式收敛。证明利用了额外要求：存在$\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$上的协方差测度描述随机测度的协方差结构，我们也给出了其级数展开。这些结果涵盖了例如高斯白噪声、泊松与Cox点过程等情形，并可用于获得拖网过程（trawl processes）的展开。