基于随机离散数据的随机场卡胡宁-洛维展开的数值逼近

许多物理与数学模型在其输入数据中涉及随机场。例如常微分方程、偏微分方程以及系数函数中的不确定性由随机场描述的积微分方程。它们在机器学习问题中也起主导作用。在本文中，我们不假设已知随机场的矩或展开项，而仅给定其离散化样本。因此我们为这一离散信息建模某种测量过程，然后逼近原始随机场的协方差算子。当然，真实协方差算子是无限秩的，因此不能假设从有限个空间离散化观测中能获得准确逼近。另一方面，真实（未知）协方差函数的光滑性导致对真实协方差算子的有效低秩逼近。我们推导了显式误差估计，其涉及协方差算子的有限秩逼近误差、随机域中采样的蒙特卡洛型误差以及物理域中的数值离散化误差。这允许给出关于三个离散化参数的充分条件，以保证达到低于预设精度 $\varepsilon$ 的误差。